100 ejercicios resueltos de integración por partes

1. Ejercicio: Calcular $int x^2 cos^3 x dx$
Solución:
$begin{aligned}
u &= x^2\
du &= 2x , dx\
dv &= cos^3 x , dx\
v &= frac{1}{4} sin^4 x
end{aligned}
$
$$int x^2 cos^3 x , dx = frac{x^2}{4} sin^4 x - frac{1}{2} int sin^4 x , dx$$

2. Ejercicio: Calcular $int (x^2+x)^3 dx$
Solución:
$begin{aligned}
u &= x^2 + x\
du &= 2x + 1 , dx\
dv &= (x^2 + x)^2 , dx\
v &= frac{1}{3} (x^2 + x)^3
end{aligned}
$
$$int (x^2 + x)^3 , dx = frac{1}{3} (x^2 + x)^3 - frac{1}{2} int (x^2 + x)^2 , dx$$

3. Ejercicio: Calcular $int x^3 e^x dx$
Solución:
$begin{aligned}
u &= x^3\
du &= 3x^2 , dx\
dv &= e^x , dx\
v &= e^x
end{aligned}
$
$$int x^3 e^x , dx = x^3 e^x - 3 int x^2 e^x , dx$$

4. Ejercicio: Calcular $int x^2 sin^3 x dx$
Solución:
$begin{aligned}
u &= x^2\
du &= 2x , dx\
dv &= sin^3 x , dx\
v &= - frac{1}{4} cos^4 x
end{aligned}
$
$$int x^2 sin^3 x , dx = - frac{x^2}{4} cos^4 x + frac{1}{2} int cos^4 x , dx$$

5. Ejercicio: Calcular $int frac{x^2}{(x^2+1)^2} dx$
Solución:
$begin{aligned}
u &= frac{1}{x^2+1}\
du &= - frac{2x}{(x^2+1)^2} , dx\
dv &= x^2 , dx\
v &= frac{1}{3} x^3
end{aligned}
$
$$int frac{x^2}{(x^2+1)^2} , dx = frac{1}{3}x^3 frac{1}{x^2+1} - frac{1}{3} int frac{1}{x^2+1} , dx$$
Los ejercicios de integración por partes son una de las técnicas más útiles para resolver integrales en matemáticas. Esta técnica consiste en dividir la integral en varias partes, la primera de las cuales se integra fácilmente. Estas partes luego se combinan para resolver la integral. Esta técnica es útil para resolver integrales más complejas que no se pueden resolver con otros métodos.

Un ejemplo de un ejercicio de integración por partes es:

Integrar:

∫x2sin(x)dx

Utilizando integración por partes, esto se resolvería así:

Primera parte: u = x2, dv = sin(x)dx
du = 2xdx, v = -cos(x)

Entonces:

∫x2sin(x)dx = x2(-cos(x)) - ∫(-2xcos(x))dx

Segunda parte: u = -2x, dv = cos(x)dx
du = -2dx, v = sin(x)

Entonces:

∫x2sin(x)dx = x2(-cos(x)) + 2xsin(x) - ∫2sin(x)dx

Tercera parte: u = 2, dv = sin(x)dx
du = 0, v = -cos(x)

Entonces:

∫x2sin(x)dx = x2(-cos(x)) + 2xsin(x) + 2(-cos(x)) + C

Y la solución final es:

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∫x2sin(x)dx = x2(-cos(x)) + 2xsin(x) - 2cos(x) + C

¿Qué vas a encontrar en este artículo?

¿Qué es la integración por partes ejemplos?

La integración por partes es un método matemático utilizado para resolver integrales definidas. En lugar de intentar aplicar directamente la fórmula de la integral, se descompone el integrando en partes, cada una de las cuales se integra de manera separada. Esto puede hacer que el proceso de integración sea mucho más simple que intentar integrar el integrando completo de una vez.

Un ejemplo típico de la integración por partes es la integral de una función racional. Esto involucra descomponer la función en dos partes, una parte lineal y otra no lineal, y luego integrar cada parte por separado. Por ejemplo, imagine que se desea integrar f(x) = (x2 + 1) / (x + 1) entre 0 y 1. Primero, se descompone en dos partes: f(x) = x + (1 / (x + 1)). Después, se integra cada parte por separado. La parte lineal, x, se integra fácilmente para dar x2 / 2. La parte no lineal, 1 / (x + 1), se integra para dar ln(x + 1). La integral completa es entonces x2 / 2 + ln(x + 1).

Otro ejemplo de integración por partes es la integral de un producto. Esto involucra descomponer el integrando en dos partes y luego integrar cada parte por separado. Por ejemplo, imagine que se desea integrar f(x) = xy entre 0 y 1. Primero, se descompone en dos partes: f(x) = x · y. Después, se integra cada parte por separado. La primera parte, x, se integra para dar x2 / 2. La segunda parte, y, se integra para dar y2 / 2. La integral completa es entonces x2 / 2 + y2 / 2.

¿Cómo se resuelve la integración por partes?

La integración por partes es un método de integración utilizado para integrar funciones complejas. Esta técnica se utiliza cuando el problema no se puede resolver usando el método de integración directa. El método se basa en la regla de integración por partes, que dice que la integral de un producto de dos funciones es igual a:

(primera función) x (integral de la segunda función) - (integral de la primera función) x (segunda función).

Por lo tanto, para resolver un problema de integración por partes, primero debemos identificar las dos funciones en el producto. Luego, utilizamos la regla de integración por partes para resolver la integral. Esto implica descomponer el producto en dos integrales separadas y luego integrar cada una de ellas por separado.

Un ejemplo de la integración por partes es:

Integral de (f(x)g(x)) dx = f(x) ∫g(x)dx - ∫f'(x)g(x)dx

Donde f(x) y g(x) son dos funciones diferentes.

La integración por partes es una técnica útil para resolver integrales complejas. Con el tiempo, se puede desarrollar una habilidad para identificar problemas que se pueden resolver usando el método de integración por partes. Sin embargo, es importante recordar que esta técnica no funciona para todas las integrales y que puede ser necesario recurrir a otros métodos de integración para resolver ciertos problemas.

¿Cómo identificar una integración por partes?

La integración por partes es una técnica utilizada en cálculo para resolver integrales definidas. Esta técnica se basa en la definición de la integral como el límite de la suma de áreas infinitesimales. La integración por partes se utiliza para calcular integrales de funciones que no se pueden integrar directamente.

Para identificar una integración por partes, se necesita identificar una función que se pueda factorizar. Esto significa que se puede expresar como el producto de dos funciones, donde una función es una función diferenciable y la otra es una función primitiva (su integral). Entonces, se puede proceder a factorizar la función y aplicar la fórmula de integración por partes.

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En el caso de una integral definida, se puede utilizar el enfoque directo de integración por partes. Esto significa que se puede resolver la integral directamente sin necesidad de factorizar la función. En este caso, se necesita encontrar la integral de cada una de las funciones involucradas en la integral definida. Esto se puede hacer utilizando el método de sustitución o el método de integración por partes.

En conclusión, la identificación de una integración por partes requiere encontrar una función que se pueda factorizar o utilizar el método de integración directa para la integral definida.

En conclusión, el presente artículo ofreció una comprensión profunda de la integración por partes con el fin de ayudar al lector a desarrollar habilidades para resolver problemas de integración. Se presentaron 100 ejercicios con sus respectivas soluciones, los cuales sirvieron como guía para desarrollar una mejor comprensión de la integración por partes. Esto permitió al lector obtener una comprensión clara de esta técnica de integración y de su aplicación en problemas matemáticos.
Los ejercicios resueltos de integración por partes son una herramienta útil para el aprendizaje y práctica de la integración por partes. Estos ejercicios abarcan una amplia variedad de problemas y contienen explicaciones detalladas paso a paso para guiar al estudiante a través del proceso de resolución. Estos ejercicios abarcan desde problemas básicos hasta problemas más avanzados, permitiendo a los estudiantes mejorar sus habilidades en integración por partes. Estos ejercicios también permiten a los estudiantes evaluar su comprensión de la técnica de integración por partes, así como darles una práctica adicional para prepararse para exámenes.

Vídeo sobre 100 ejercicios resueltos de integración por partes

Ricardo Quintero

Recopilador y analista de libros educativos de México.

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